PROGRESSÃO ARITMÉTICA

PA: Progressão Aritmética

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r. Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.

Exemplos de progressão aritmética

Considere as seguintes sequências:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
• (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3.
• (3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 - 3 = 0.
• (10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 - 10 = -5.

Tipos de progressões aritméticas (P.A.)

• Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.

Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2.

• Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.

Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2.

• Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.

Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.

Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)

Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a P.A. com razão r a seguir:

• (a₁, a₂, a₃, …, a_n-1, a_n, …)

A partir da P.A. acima sabemos que:

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ + r
• a₃ = a₂ + r
• a₄ = a₃ + r
• a₅ = a₄ + r . . .
• a_n = a_n-1 + r

 Se somarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1) + (a_n = a₁ + a₂ + a₃ + … a_n-1) + r + r + r + … + r ((n - 1) vezes)

Com isso chegaremos a seguinte fórmula após simplificarmos os termos:

• a_n = a₁ + (n - 1)r

Onde:

• a_n: é o termo geral;
• a_1: é o primeiro termo da P.A.;
• n: é o número de termos ou o total de termos;
• r: é a razão.

A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a₁, n e r.

Exemplo:

1. Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a₁ = 2 e r=5.

De acordo com o enunciado: a₁ = 2, r = 5, n = 5.

Assim, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:

a₅ = 2 + (5 – 1).5

a₅ = 2 + 4 x 5

a₅ = 2 + 20

a₅ = 22

Vamos conferir: (2, 7, 12, 17, 22, …) Correto!

2. Determine o total de termos da P.A.: (2, 7, 12, 17, 22, …, 57)

Pela questão temos que a_n = 57, a₁ = 2 e r = 5. Então, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:

57 = 2 + (n – 1).5

57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)

57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)

57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)

57 + 3 = 5n

60 = 5n (passa dividindo)

n = ⁶⁰⁄₅

n = 12

Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.

Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 e 57

3. Determine a razão de uma P.A. sabendo que a_n = 31, a₁ = 10 e n = 8

31 = 10 + (8 – 1).r

31 = 10 + 7r

31 – 10 = 7r

21 = 7r

r = ²¹⁄₇

r = 3

Portanto, a razão para a P.A. da questão é r = 3

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:

Sn = ( a1 + an ) . n / 2

Exemplo:

Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

Primeiramente precisamos saber qual é o termo a₂₀:

a_n = a₁ + (n - 1)r ⇒ a₂₀ = 1 + (20 - 1).4 ⇒ a₂₀ = 1 + 76 ⇒ a₂₀ = 77

Assim, podemos calcular a soma dos 20 primeiros termos, então:

Sn = ( 1 + 77 ) . 20 / 2 = 78 . 20 = 1560 / 2 = 780

EXERCICIOS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

01. Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:

a) o termo geral dessa PA;

b) o seu 15° termo;

c) a soma a₁₀ + a ₂₀.

02. Determine:

a) a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …);

b) a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …);

c) a soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75, …).

03. (Puc – RS) Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu ____ metros.

a) 55

b) 66

c) 165

d) 275

e) 330

04. Qual é o décimo termo da Progressão Aritmética (3,12,...)?

·         8432245568

05. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?

06. Considere a sequência dos números positivos ímpares, colocados em ordem crescente. Calcule 95º elemento.

a) 95                 b) 131                    c) 187                     d) 189                   e) 191

07. Ache a₁ numa P.A., sabendo que r = 1/4 e a₁₇ = 21.